Math Shortcut Tips Concerning the sum of all competitive exam numbers

 Math Shortcut Tips Concerning the sum of all competitive exam numbers

Math Shortcut Tips The sum of all competitive exam numbers

সংখ্যার যােগফল

Math Shortcut Tips all competitive exam

 প্রথম n সংখ্যক সংখ্যার যােগফল  n(n + 1) / 2

 1 থেকে 30 পর্যন্ত পর পর সংখ্যার যােগফল---

সমাধান :1 + 2 + 3 + 4 +......+ 28 + 29 + 30=30(30 + 1)/2

=15 x 31 = 465

1 থেকে 80 পর্যন্ত পর পর সংখ্যার যােগফল।

সমাধান : 1 + 2 + 3 +4+......+ 78 + 79 + 80=80(80 + 1)/2

=40 x 41 = 1640 

 • প্রথম n সংখ্যক অযুগ্ম সংখ্যার যােগফল=n2

1 থেকে 29 পর্যন্ত পর পর অযুগ্ম সংখ্যার যােগফল

+ 25 + 27 + 29 = 152 = 225 = = সমাধান :1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ....+ 25 + 27 + 29 = (15)2. 15র স্কযের = 225

 (1 থেকে 29 পর্যন্ত মােট 15টি অযুগ্ম সংখ্যা  n = 15)

1 থেকে 49 পর্যন্ত পর পর অযুগ্ম সংখ্যার যােগফল

সমাধান :1 + 3 + 5 + 7 + 9 +..... +45 +47 + 49 = (25)2  25 র স্কযের = 625

(1 থেকে 49 পর্যন্ত মােট 25টি অযুগ্ম সংখ্যা : n = 25) 

●প্রথম n সংখ্যক যুগ্ম সংখ্যার যােগফল = n(n +1)

1 থেকে 100 পর্যন্ত পর পর যুগ্ম সংখ্যার যােগফল

সমাধান :2 + 4 + 6 + 8 +....... + 96 +98 + 100 = 50(50 + 1) = 2550

 (1 থেকে 100-এর মধ্যে মােট 50টি যুগ্ম সংখ্যা :. n = 50) 

Math Shortcut Tips

প্রথম n সংখ্যক পূর্ণবর্গ সংখ্যার যােগফল

=n (n + 1)(2n + 1)/6

 1 থেকে 25 পর্যন্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যার যােগফল

 সমাধান : (1)2 +(2)2 + (3)2 +(3)2 +(4)2 + (5)2 ......+ (25)2 (এগুলো সব স্কযের)

=25(25 + 1)(2 x 25 + 1)= 25 x 26 x 51/6

=(25 x 13 x 17) = 5525 

(এখানে 1 থেকে 25 পর্যন্ত মােট 25টি সংখ্যা : n = 25) 

■1 থেকে 20 পর্যন্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যার যােগফল 

সমাধান : (1)2+ (2)2+(3)2 ...... + (17)2 + (18)2 + (19)2 + (20)2(এগুলো সব স্কযের)

 

=20(20 + 1)(2 x 20 + 1)= 20 x 21 X 41 /6

=(10 x 7 x41) = 2870

 (এখানে 1 থেকে 20 পর্যন্ত মােট 20টি সংখ্যা .. n = 20) 

● প্রথম n সংখ্যক পূর্ণঘন সংখ্যার যােগফল= {n(n +1) }2 (স্কযের) /2

 1 থেকে 12 পর্যন্ত পুর্ণঘন সংখ্যার যােগফল 

সমাধান : (1 )3+ (2 )3+ (3)3 +...... + (10)3+ (11)3 + (12)3 (এগুলো সব কিউ)

={(12(12 + 1)}2 (স্কযার)/2

= (6 x 13)2 = (78)2 = 6084

 (এখানে 1 থেকে 12 পর্যন্ত মােট 12টি সংখ্যা ... n = 12) 

◆1 থেকে 15 পর্যন্ত পূর্ণঘন সংখ্যার যােগফল 

সমাধান : (1)3 + (2)3 + (3)3 + (4)3+......+ (13)3 + (14)4 + (15)3  (এগুলো সব কিউ)

={(15(15 + 1)}2/2 

= (15 x 8)3 = (120)2 = 14400

(এখানে 1 থেকে 15 পর্যন্ত মােট 15টি সংখ্যা n=15)

■ পরপর বা সমপার্থক্যের সংখ্যা সারির যােগফল= (প্রথম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) ÷ 2

পরপর বা সমপার্থক্যের সংখ্যা সারির গড় 

(প্রথম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা) x n/2

(এখানে n = যতগুলি সংখ্যা)

● পরপর (consecutive) সংখ্যার ক্ষেত্রে।

 বৃহত্তম সংখ্যা = সংখ্যাগুলির গড় + (n - 1)/2 (এখানে n = যতগুলি সংখ্যা)

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = সংখ্যাগুলির গড় – (n-1) /2 (এখানে n = যতগুলি সংখ্যা)

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যােগফল = 2 xসংখ্যাগুলির গড়। 

যেমন : পরপর 5টি সংখ্যার গড় 4 হলে—

 বৃহত্তম সংখ্যা = 4 +( 5 - 1) / 2 = 4 + 2 = 6 

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 4 - (5 - 1 )/2 = 4-2 = 2 (উভয় ক্ষেত্রে n = 5) 

( সুতরাং সংখ্যাগুলি [2], 3, 4, 5,[6]) ।

 বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যােগফল = 2 x 4 = 8 = 2 + 6।

পরপর জোড় (even) বা বিজোড় (oda) সংখ্যার ক্ষেত্রে—

। বৃহত্তম সংখ্যা = সংখ্যাগুলির গড় + (n-1) (এখানে n = যতগুলি সংখ্যা) ।

 ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = সংখ্যাগুলির গড় – (n-1) (এখানে n = যতগুলি সংখ্যা) )

 বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার-যােগফল = 2 x সংখ্যাগুলির গড়। 

যেমন : পরপর 5টি জোড় সংখ্যার গড় 6 হলে

 বৃহত্তম সংখ্যা = 6 + (5 - 1) = 6 + 4 = 10

 ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 6 – (5 - 1) = 6 – 4 = 2 

 বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যােগফল = 2 × 6 = 12।

যেমন : পরপর 5টি বিজোড় (odd) সংখ্যার গড় 7 হলে

বৃহত্তম সংখ্যা = 7 + (5 - 1) = 7 + 4 = 11

Math Shortcut Tips all exam

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 7 – (5 - 1) = 7 – 4 = 3 

উভয় ক্ষেত্রে n = 5

 

 বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যােগফল = 2 x 7 = 14।

• দুটি সংখ্যার যােগফল ও বিয়ােগফল দেওয়া থাকলে—

 বৃহত্তম সংখ্যা = (যােগফল + বিয়ােগফল) ÷2

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (যােগফল - বিয়ােগফল) ÷ 2

সংখ্যা দুটির গুণফল = {(যােগফল + বিয়ােগফল)(যােগফল – বিয়ােগফল)}/4

 সংখ্যা দুটির বর্গের পার্থক্য = (যােগফল x বিয়ােগফল)

যেমন দুটি সংখ্যার যােগফল 50 এবং বিয়ােগফল 10 হলে—

বৃহত্তম সংখ্যা = (50 + 10) ÷2 = 30

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (50 - 10) ÷ 2 = 20

) সংখ্যা দুটির গুণফল = (50 + 10)(50 – 10) ÷ 4 = (60 x 40) : 4 = 600। 

 সংখ্যাদুটির বর্গের পার্থক্য = (50 x 10) = 500

যে-কোনাে জাতীয় ভগ্নাংশের power বাড়লে ভগ্নাংশটির সংখ্যামান কমবে এবং power কমলে সংখ্যামান বাড়বে-

• শূন্য (0) ছাড়া যে-কোনাে তিনটি পৃথক অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাগুলির সমষ্টি

= অঙ্ক সমষ্টিx 222

যেমন : 2, 3 ও 5 দ্বারা গঠিত তিন অঙ্কের সংখ্যাগুলির যােগফল = (2 + 3 + 5) x 222 = 10 x 222 = 2220 

অথবা

 সংখ্যাগুলির যােগফল = 235 + 253 + 325 + 352 + 523 + 532 = 2220) 

• শূন্য (0) ছাড়া যে-কোনাে চারটি পৃথক অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাগুলির সমষ্টি = অঙ্ক সমষ্টি x 6666 যেমন : 2, 4, 5 ও 3 দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের সংখ্যাগুলির যােগফল = (2 + 4 + 5 + 3) x 6666 14 x 6666 = 93324 

• দুটি সংখ্যার যােগফল এবং বিয়ােগফলের অনুপাত a : b হলে— 

সংখ্যা দুটির অনুপাত = (a + b) : (a – b) 

যেমন : দুটি সংখ্যার যােগফল ও বিয়ােগফলের অনুপাত 5 : 1 হলে— সংখ্যা দুটির অনুপাত = (5 + 1) : (5 - 1) = 6 : 4 = 3 : 2

দুটি সংখ্যার বর্গের পার্থক্য  x হলে

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (x - 1) / 2 

বৃহত্তম সংখ্যা = (x + 1) / 2 

 যেমন : দুটি সংখ্যার বর্গের পার্থক্য 13 হলে— 13 + 1 13 - 1 ।

 বৃহত্তম সংখ্যা (13 + 1 ) / 2 = 7 ) 

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা (13 - 1 ) / 2 = 6 )

 (7)2 -( 6)2 = 49 – 36 = 13

• পরপর বা সমপার্থক্যযুক্ত সংখ্যা সারির ক্ষেত্রে দুটি সংখ্যার স্থানগত মানের যােগফল

সমান হলে, সংখ্যাদুটির যােগফলও সমান হবে। 

যেমন : সংখ্যা সারি 3, 5, 7, 9, 11, 13 হলে—

(১ম + ৬ষ্ঠ) স্থানের সংখ্যা = 3 + 13 =16

(২য় + ৫ম) স্থানের সংখ্যা= 5 + 11 = 16 (৩য় + ৪র্থ) স্থানের সংখ্যা = 7 + 9 =16 =

• কোনাে সংখ্যা ও তার অনােনকের যােগফল পূর্ণ সংখ্যা হয় কেবলমাত্র 1 (এক) এর ক্ষেত্রে।

Math Shortcut Tips numbers

1 + 4.x - 1 কোনাে একটি সংখ্যা এবং তার বর্গের যােগফল x হলে—সংখ্যাটি=√1+4-1/2 

যেমন : কোনাে একটি সংখ্যা ও তার বর্গের যোেগফল 6 হলে— -

 সংখ্যাটি=√ 1+4×6-1 =√2 5-1/2 =5-1/2= 2

(2 + (2)2 = 6) 

 একটি সংখ্যাকে পর্যায়ক্রমেd1ও d2 দ্বারা ভাগ করা হলে অবশিষ্ট থাকে যথাক্রমে r1 এবং r2 

সংখ্যাটিকে d1 x d2 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকবে অবশিষ্ট = {প্রথম অবশিষ্ট+ (প্রথম ভাজক x দ্বিতীয় অবশিষ্ট)} 

= r1+ (d1 x r2) 

*** যেমন : একটি সংখ্যাকে 2 এবং 3 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে যথাক্রমে 1 এবং 2, সংখ্যাটিকে 6 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে = (1 + 2 x 2) = 5.

1 থেকে 100 পর্যন্ত। অঙ্ক সংখ্যা (No. of digits) : 192টি। 

শূন্য (০) (No. of zeros) : 11 টি। 

1'-এর সংখ্যা (No. of one) : 21 টি। 

'2’ থেকে ‘9' পর্যন্ত প্রতিটি অঙ্ক : 20টি। 

ম্যাথ শর্টকাট টিপস সমস্ত কম্পিটিটিভ এক্সাম সংখ্যার যোগফল সংক্রান্ত